lundi 26 décembre 2011

La dérivation (3) : les formules

Les formules des dérivées sont issues de la formule du chapitre précédent :
Si C : f(x)=10, c'est à dire une droite horizontale de hauteur 10, la pente de la tangente en n'importe quel point A est 0 car f(x) - f(xA) = 10 - 10 = 0 et la limite de 0 divisé par x - xA quand x tend vers xA est 0. On retrouve bien que la dérivée d'une droite est sa pente, sur une droite la tangente étant la droite elle-même.

Faites le calcul pour D : f(x)=2*x+1. La pente de cette droite étant 2, vous devriez trouver 2 pour la dérivée en toute logique.

Maintenant regardons C : f(x)=x2 et appliquons la formule.
Nous trouvons après factorisation et simplification de x2 - xA2=(x - xA)(x + xA)
f ' (xA)=2*xA ou si l'on préfère f ' (x)=2*x.

Si xA=2, f ' (2)=2*2=4 c'est à dire que la pente de la tangente notée TA ou T2 au point A d'abscisse 2 est 4.

De même on a f ' (0)=0, f ' (1)=2, f ' (3) = 6 ou encore f ' (-1)= -2.

En simplifiant le dénominateur grâce à la factorisation du numérateur, on trouve pour tout n entier (xn) ' = n*xn-1. Cette formule est aussi vraie pour n réel.

La dérivation (2) : comment trouver une pente ?

Deux solutions : trouver la pente de la tangente à partir de la pente d'une corde ou bien se servir des formules.

Prenons tout d'abord deux points de la courbe C : y=f(x):
La pente de la corde (AB), est le taux d'accroissement TAB de A à B, c'est à dire la montée divisée par l'avancée correspondante :
TAB=(yB-yA)/(xB-xA)

Maintenant si xB se rapproche de xA, nous constatons que la corde (AB) se rapproche de la la tangente en A. Et donc TAB tend vers f ' (xA).


En résumé, si l'on cherche la dérivée f ' (xA) il faut chercher la pente de la tangente à la courbe C : y=f(x) au point A(xA ; f(xA) ) en utilisant :

La dérivation (1) : dérivée = pente de droite

Lorsqu'un bateau dérive, il se déplace. En mathématiques, la dérivation parle donc du déplacement d'une courbe de fonction. Ici il n'y a pas 36 solutions, le déplacement se fait de gauche à droite en abscisses et vers le haut, le bas, ou "tout droit" en ordonnées.

Pour ce qui est d'une droite, sa dérivée est sa pente. Une droite de dérivée 2, donc de pente 2 se déplace de 2 unités vers le haut lorsqu'on avance d'1 unité vers la droite quel que soit le point de départ.

Mais nous n'avons pas toujours affaire à une droite : la courbe peut monter puis descendre plus ou moins vite. Néanmoins la pente reste un outil utile pour peu qu'on l'adapte à ces courbes.

C'est ce que l'on fait en introduisant la tangente en un point d'une courbe. En ce point, la tangente est la droite qui colle le mieux à la courbe. La dérivée devient donc la pente de la tangente.

Comment comprendre un cours ?

Cet article est une application du principe de compréhension, à savoir historifier.

Généralement, lorsque l'on est en cours, on recopie automatiquement presque mot à mot ce qui est dit ou écrit au tableau. Malheureusement cette manière de faire est peu efficace car nous ne nous racontons pas l'histoire pendant que nous l'écrivons et nous perdons le fil.

Or notre cerveau a besoin de créer une histoire, alors lorsqu'elle ne peut pas se baser sur le cours, on raconte autre chose : des histoires drôles, des potins.

Face à de nouvelles informations, le besoin d'interactions est instinctif mais il est le plus souvent mal canalisé par les professeurs à cause du manque de temps et des classes trop nombreuses.

Ce qui empêche de créer soi-même une histoire directement en cours est le nombre trop important d'éléments nouveaux à maîtriser. Le nombre maximal d'éléments que l'on peut combiner d'un coup est autour de 5, c'est aussi le nombre de comptage instantané et des doigts de la main. Si vous avez plus de 5 objets sur une table, vous devrez faire des groupes plus petits pour les compter.

"Rentrer" dans un roman est plus facile que dans un cours parce que nous avons l'histoire qui lie les éléments entre eux, mais chaque élément est connu. Par contre si nous avons une description longue comme dans certains romans du programme, nous sentons la difficulté qu'il y a à recréer le décor statique, c'est à dire à faire un effort d'imagination puissant instantané.

C'est pourquoi il vaut mieux partir de l'histoire générale en répondant à la question : "Globalement, qu'est-ce qui est raconté ?" pour ensuite aller vers les détails et reconstruire l'histoire avec ce fil conducteur. Un peu comme si vous deviez l'exprimer à quelqu'un.

Le plan aide à avoir une idée des grandes étapes de l'histoire, des points clés, même si il faut parfois y donner soi-même un contenu. Les parties telles que "Généralités" ou "Définitions" nous renseignent assez peu et peuvent utilement être complétées.

Relier les exercices au plan est essentiel, je propose souvent d'écrire le plan du cours sur une feuille et de compter les exercices avec des bâtons à côté des parties. Dans l'idéal, les exercices portent d'abord sur des sous-parties et l'on remonte progressivement vers les parties plus grandes.

Ainsi l'on a une carte précise d'où nous en sommes et ce qu'il nous reste à faire.

Historifier

Mise à jour dimanche 4 mars 2012.
Il faut s'exprimer, quitte à se corriger.

1)Historifier : néologisme
Intelligence vient du latin inter-ligere : lier entre. Ces liens forment un monde, une histoire et donc comprendre="historifier"="créer des histoires", des structures 4D. Cela va des constructions intellectuelles à l'expression corporelle.
Il y a une très grande différence entre percevoir et historifier c'est à dire construire une histoire.

2)Les cours : plan=arbre historifié
Il est plus facile de relier les éléments fondamentaux via un plan pour ensuite descendre vers les détails et remonter vers les notions plus générales une fois que l'on aura coché les parties pratiquées en exercices.
On peut tout à fait prendre des notes automatiquement et ne pas comprendre ce que l'on écrit car l'historification ne se se fait pas.
Dans L'histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah indique que le nombre maximal de comptage instantané est autour de 5 : compter 3 objets sur une table est instantané alors que pour en compter 11 il faut faire des sous-groupes. Donc un plan doit éviter les listes de plus de 5 éléments.

3)Le jeu du téléphone arabe
Un jeu peut nous aider à saisir ce dont je parle : le téléphone arabe sous deux version.
version 1
Le dernier en bout de chaîne ne sait plus quelle était l'histoire de départ, et pourtant des civilisations entières étaient orales, c'est donc qu'il existe un moyen de ne pas la perdre.
version 2
A chaque étape, celui qui a reçu l'histoire la reformule au donneur jusqu'à ce qu'ils soient d'accord. Ensuite le receveur la raconte au voisin suivant. Ainsi le sens est préservé d'un bout à l'autre.

Testez ces deux versions avec votre entourage et partagez vos expériences en commentant ici par exemple.

A bientôt.