La dérivation (4) : Automatisation

Dérivées à automatiser

1)Les puissances de x
(xⁿ)'=nx^n-1
Attention :
n=0, (x⁰)'=(1)'=0
n=1, (x¹)'=1x⁰=1 car x⁰=1
n=1/2, (racine(x))'=(x^1/2)'=1/2 x^-1/2=1/(2racine(x))
Pour les autres n, même les n négatifs, la formule fonctionne aussi, ce qui est d'un grand secours pour dériver des polynômes au dénominateur.
Inventez les fonctions les plus extravagantes que vous voulez à dériver. Plus vous varierez les exemples, plus vous maîtriserez.

2)Les polynômes
(a+b)'=(a)'+(b)' donc dériver un polynôme revient à dériver chacun des termes de sa somme.
(x⁵+3x+1)'=(x⁵)'+(3x)'+(1)'=5x⁴ +3+0

3)Multiplication et division
La multiplication et la division de fonctions u et v ne se passe pas aussi naturellement.
(uv)'=u' v + uv'
(u/v)=(u 'v -uv')/v²

4)Composition
(f(u))'=u' f '(u), on remarque que si u(x)=x alors (f(x))'=x' f '(x)=f '(x).
f '(u) se trouve en cherchant f '(x) et en remplaçant ensuite x par u.
Grâce à cette formule, on peut presque tout dériver si l'on connait la dérivée de chaque fonction séparément.
((x²+3)³)'=(f(u))' avec f(u)=u³ et u(x)=x²+3

5)cos, sin, exp, ln
exp'(x)=exp(x)
ln'(x)=1/x