Limite de fonction

1)Définition avec les quantificateurs universels
a)Formulons la notion
Dire que f(x) tend vers une limite l quand x tend vers a ne va pas de soi car comment définir "tend vers" ?
Rassurez-vous, les mathématiciens ont trouvé une solution en utilisant les quantificateurs universels : "pour tout" et "il existe".

Si on "tend vers" c'est qu'on se rapproche et "être proche de" peut se mathématiser.

Nous obtenons :
f(x) est aussi proche que l'on veut de l si x est suffisamment proche de a. 

b)Traduisons les mots puis la phrase en langage mathématique
f(x) aussi proche que l'on veut de l : pour tout M, |f(x)-l|<M
x suffisamment proche de a : il existe m tel que |x-a|<m

La phrase traduite : pour tout M, il existe m tel que |x-a|<m ⇒ |f(x)-l|<M.

c) Si a ou l sont des limites égales à + ou -infini
|x-a|<m devient x>m ou x<m.
|f(x)-l|<M devient f(x)>M ou f(x)<M.