vendredi 25 mai 2012

Résoudre toutes les suites récurrentes linéaires

Ce sont les suites du type : aUn+bUn+1+cUn+1+dUn+3+...=0

On utilise comme pour les équations différentielles linéaires un résultat des noyaux de polynômes d'endomorphismes avec ici l'endomorphisme translation T tel que T(Un)=Un+1, T2(Un)=T(Un+1)=Un+2, ...

Exemple : la suite de Fibonacci Un+2=Un+1+Un avec U0=1 et U1=1.
Le terme d'après est la somme des deux termes précédents. On a donc 1 1 2 3 5 8 13 21 ...

T2(Un)-T(Un)-Un=0, c'est à dire (X2-X-1)(T)(Un)=0 (1)
Factoriser ce polynôme en polynômes premiers entre eux donnera des solutions dont la somme sera la solution générale.

Il faut factoriser le polynôme caractéristique X2-X-1 :
Δ =5
x1=(1-√5)/2 
x2=(1+√5)/2 

d'où X2-X-1=(X-x1)(X-x2)

(1)⇔ (X-x1)(X-x2)(T)(Un)=0
⇔(X-x1)(T)(Un)=0 ou (X-x2)(T)(Un)=0

Nous pouvons résoudre ces deux équations plus simples séparément.
En posant Un=x1nU(n) avec U(n) polynôme en n.

T(x1nU(n))-x1nU(n)=0
⇔ x1n+1U(n+1)-x1×x1nU(n)=0
⇔ x1n+1(U(n+1)-U(n))=0
⇔ U(n+1)-U(n)=0
⇔ U(n)=K1
⇔ Un=K1x1n

De même (X-x2)(T)(Un)=0 ⇔ Un=K2x2n

D'où Un=K1x1n + K2x2n avec K1 et K2 vérifiant U0=1 et U1=1

Après résolution du système et simplifications, nous trouvons :
Un=1/√5 (x2n+1 - x1n+1)

Addendum : Dans notre exemple, nous avons eu la chance d'avoir une factorisation avec des racines simples, c'est à dire que les polynômes de la factorisation étaient de la forme (X-k)1 donc de degré 1.

Prenons le cas : Un+2=6Un+1-9Un.
Nous obtenons : T2(Un)-T(Un)-9Un=0 ⇔ (X2-6X+9)(T)(Un)=0 ⇔(X-3)2(T)(Un)=0 (2)

On pose Un=3nU(n) avec U(n) polynôme en n.
(2) ⇔(X-3)2(T)(3nU(n))=0

Le degré d°(U(n+1)-U(n)) est un cran au dessous de d°(U(n)).
Si  V(n)=U(n+1)-U(n) et V(n+1)-V(n)=0, V(n)=a, U(n)=bn+c etc...

D'où (2) ⇔(X-3)(T)(T(3nU(n))-3×3nU(n))=0
             ⇔(X-3)(T)((3n+1U(n+1))-3n+1U(n))=0
             ⇔(X-3)(T)(3n+1(U(n+1)-U(n))=0
             ⇔(X-3)(T)(3n+1(V(n))=0
             ⇔3n+2(V(n+1)-V(n))=0
             ⇔(V(n+1)-V(n))=0
             ⇔V(n)=0 et U(n)=bn+c
             ⇔Un=(bn+c)×3n.

Avec U0=1 et U1=1, on a :
(0+c)=1 et (b+c) × 3=1
c=1 et (b+1) × 3=1
c=1 et b=-2/3

Nous obtenons : Un=(-2/3×n +1)×3n.
Si nous calculons les premiers termes avec la relation de récurrence, nous trouvons :
U0=1 U1=1
U2=6-9=-3
U3=6U2-9U1=-18-9=-27
U4=6U3-9U2=-162+27=-135
La formule générale donne :
U0=(-2/3×0 +1)×30=1
U1=(-2/3×1 +1)×31=1
U2=(-2/3×2 +1)×32=-1/3×9=-3
U3=(-2/3×3 +1)×33= -1×27=-27
U4=(-2/3×4 +1)×34= -5/3×34=-5×33=-135

Cela correspond ! Fou, non ?

Addendum 2 :

Lorsque l'on a
aUn+bUn+1+cUn+1+dUn+3+...=C, avec C constante, il faut ajouter à la solution de aUn+bUn+1+cUn+1+dUn+3+...=0 la solution constante A vérifiant
P(X)(T)(Un)=C tel que P(X) soit un des facteurs choisis pour résoudre la solution.

Si P(X)=X-1, alors (X-1)(T)(Un)=C correspond à
Un+1=Un+C, c'est une suite arithmétique de solution Un=B+C×n.

Résoudre toutes les équations différentielles linéaires

Ce sont toutes les équations du type : af + bf '+cf ''+df '''+...=E , un polynôme différentiel que l'on va factoriser

Cette méthode est une application d'une propriété des noyaux de polynômes d'endomorphismes, les éléments qui annulent ces polynômes. Je l'ai relue en mai 2012 sur le cours : Mathématiques 2ème année, édition Dunod, 2001. Nous pouvons également résoudre les polynômes de suites.

Un peu de théorie : l'endomorphisme que nous allons utiliser est l'opérateur de dérivation D, tel que
(X)(D)(f)=D(f)=f ', (X2)(D)(f)=D2(f)=DoD(f)=D(f ')=f ''.
On l'appelle endomorphisme principalement parce que la forme (morphe) de l'image est identique à la forme de l'antécédent : D(f+g)=f ' + g '=D(f)+D(g), D(kf)=kD(f).
Et aussi que D(f) reste à l'intérieur (endo) de l'ensemble de f, par exemple l'ensemble des fonctions continues à dérivées continues.

L'astuce, c'est qu'en factorisant un polynôme d'endomorphisme P(D) en polynômes Pi(D) premiers entre eux, chercher les racines f telles que P(D)(f)=0 revient à chercher les racines fi des Pi(D)(f) qui sont plus simples et faire leur somme.

C'est pas beau ça ?

Exemple : En terminale on n'apprend pas à résoudre l'équation différentielle correspondant au circuit R,L,C qui est de la forme af ''+bf '+cf=E. Ce qui donne aD2(f)+bD(f)+cf=E puis (aX2+bX+c)(D)(f)=E (1)

La solution de cette équation est la somme de :
1. une solution particulière de (1) E/c
2. les solutions de (aX2+bX+c)(D)(f)=0 (2)

Le polynôme caractéristique est aX2+bX+c.

Si Δ ≠ 0 il y a deux racines réelles ou complexes x1 et x2.

(2) ⇔ a(X-x1)(X-x2)(D)(f)=0 ⇔ (X-x1)(D)(f)=0 ou (X-x2)(D)(f)=0
 C'est ici que l'astuce joue : nous nous sommes ramenés à deux équations différentielles plus simples.
⇔ D(f)-x1f=0 ou D(f)-x2f=0 ⇔ f '-x1f=0 ou f '-x2f=0
⇔ f1=A1ex1x ou f2=A2ex2x

La solution est f=E/c + f1 + f2 =E/c + A1ex1x + A2ex2x .

Si Δ = 0 nous avons une racine double x0 réelle.
(2) ⇔ a(X-x0)2(D)(f)=0
En posant f(x)=ex0xg(x), on trouve (2) ⇔ (X-x0)2(D)(ex0xg)=0
⇔(X-x0)(D) o (X-x0)(D)(ex0xg) Le carré devient une composition de polynômes.
⇔ (X-x0)(D)(ex0xg')=0 ⇔ (ex0xg'')=0 ⇔ g ''=0 ⇔ g=Ax+B.

Ainsi la solution est f=E/c + (Ax+B)ex0x.

jeudi 24 mai 2012

Tableau d'avancement (2) : utilisation

Rappels : L'avancement x est le nombre de réactions en mol.
Pour un élément X,
n(X)=nombre en mol, 1 mol=NA éléments=6.024 × 1023
N(X)=nombre sans unité.
M(X)=masse molaire en g/mol.
m(X)=masse en g.

Avec les 2 formules qui relient toutes ces quantités :
N(X)=n(X) × NA
m(X)=n(X) × M(X).

Le tableau d'avancement est un outil de présentation qui décrit le nombre de réactions au cours de l'expérience et les conséquences sur le nombre de réactifs et de produits, eux aussi en mol.

Reprenons la synthèse de l'eau : 2 H2+O2 → 2 H2O

Que se produit-il si nous avons m(H2)=8g et m(O2)=8g à l'état initial ?
Nous ne pouvons le savoir que si nous connaissons le nombre initial d'éléments en mol.
n(H2)=m(H2)/M(H2)
n(O2)=m(O2)/M(O2)

Avec :

M(H2)=nombre de nucléons dans H2= 2 M(H)=2 × 1=2g/mol.
M(O2)=nombre de nucléons dans O2= 2 M(O)=2 × 16=32g/mol.
M(H2O)=nombre de nucléons dans H2O= 2 M(H)+1 M(O)=2 × 1+16=18g/mol

n(H2)=8/2=4mol 
n(O2)=8/32=0.25mol




A l'état final, nous avons :
n(H2)=3.5mol
n(O2)=0.5mol
n(H2O)=0.5mol

D'où :
m(H2)=n(H2) × M(H2)=3.5 × 2=7g 
m(O2)=n(O2) × M(O2)=0.0 × 32=0g 
m(H2O)=n(H2O) × M(H2O)=0.5 × 18=9g 

La réaction a donc consommé 1g de H2 et 8g de O2 pour produire 9g de H2O.

Chimie

Chimie
Tableau d'avancement (1) : La mole
Tableau d'avancement (2) : utilisation

Tableau d'avancement (1) : La mole

L'avancement x est le nombre de réactions en mol. Pour la traduction, lire la suite :-)

Avant la seconde, nous voyons les réactions chimiques de manière qualitative : on explique ce qui se passe pour chaque réactif et produit via l'équation bilan qui les relie.

Par exemple 2H2+O2→2H2O. C'est à dire 2 H2 avec 1 O2 produit 2H2O.

Si l'on fait une expérience, cette réaction se produit plusieurs fois, et c'est peu dire. Il faut donc trouver un moyen de compter les réactions qui ont lieu dans une unité adaptée : c'est l'avancement.

Ici intervient le Graal : la mole. C'est elle qui va permettre de passer d'une masse en g que l'on peut peser à un nombre d'éléments et ainsi compter. Vous avez déjà vu ce genre d'unités de comptage, par exemple 1kilo=1000 éléments.

Dans notre exemple, ce qui est vrai pour 1 réaction est vrai pour 1kilo=1000 réactions et est donc aussi vrai pour 1 mol =NA=Nombre d'Avogradro=6.024 × 1023 réactions.

Ce nombre a été choisi de manière à ce que 1 mole d'1 nucléon (proton ou neutron) corresponde environ à 1g. Comme tous les noyaux des atomes sont constitués d'un nombre connu de nucléons, nous avons donc une passerelle entre les masses et les nombres d'éléments.

Exemples : 
L'hydrogène : H possède 1 proton dans son noyau. Donc 1 mole de H a une masse m(H)=1g.
Masse molaire M(H)=1g/mol.
Le carbone : C possède 12 nucléons dans son noyau. Donc 1 mole de C a une masse m(C)=12g.
Masse molaire M(C)=12g/mol.
 L'oxygène : O possède 16 nucléons dans son noyau. Donc 1 mole de O a une masse m(O)=16g.
Masse molaire M(O)=16g/mol.

Le nombre de moles d'un élément X est noté n(X), n comme nombre. Lorsque l'on souhaite parler d'un nombre d'éléments sans unité, on note N(X). Nous avons donc N(X)=n(X) × NA et m(X)=n(X) × M(X).